Satellites et lois de Kepler

Introduction

Pourquoi la Lune tourne-t-elle autour de la Terre sans tomber ? Comment prévoir le mouvement des planètes ? La réponse tient en une force : la gravitation. Trois lois, énoncées par Kepler, décrivent avec une précision remarquable le mouvement des astres.

Dans ce chapitre, tu vas découvrir la force de gravitation, le mouvement des satellites et les trois lois de Kepler.

I. La force de gravitation

Deux corps qui possèdent une masse s’attirent. C’est la loi de la gravitation universelle, énoncée par Newton.

Loi de la gravitation universelle. Deux corps de masses m et M, séparés par une distance d, s’attirent avec une force de valeur : F = G × (m × M) / d² où G ≈ 6,67 × 10⁻¹¹ (SI) est la constante de gravitation universelle. La force est dirigée selon la droite qui relie les deux corps.

Cette force diminue très vite avec la distance : si la distance double, la force est divisée par quatre (à cause du carré au dénominateur).

II. Le mouvement d’un satellite

Un satellite en orbite autour de la Terre n’est soumis qu’à la force de gravitation terrestre, toujours dirigée vers le centre de la Terre. C’est elle qui courbe sa trajectoire et le maintient en orbite.

Pour une orbite circulaire :

• le mouvement est uniforme (la vitesse garde une valeur constante) ;
• le vecteur vitesse v⃗ est tangent à la trajectoire ;
• l’accélération est dirigée vers le centre de la Terre.

III. Les lois de Kepler

Au début du XVIIᵉ siècle, Kepler a énoncé trois lois décrivant le mouvement des planètes autour du Soleil.

Les trois lois de Kepler.

1. Loi des orbites : chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l’un des foyers.
2. Loi des aires : le segment reliant le Soleil à la planète balaie des aires égales pendant des durées égales. La planète va donc plus vite près du Soleil et plus lentement quand elle en est loin.
3. Loi des périodes : le rapport T² / a³ est le même pour toutes les planètes (T : période de révolution ; a : demi-grand axe de l’orbite).

L’essentiel à retenir

À retenir.

• Gravitation : F = G × (m × M) / d² ; force attractive qui diminue avec le carré de la distance.
• Un satellite n’est soumis qu’à la gravitation, dirigée vers le centre ; en orbite circulaire, son mouvement est uniforme et sa vitesse tangente.
• Lois de Kepler : orbites elliptiques (Soleil au foyer) ; aires égales en durées égales (plus rapide près du Soleil) ; T²/a³ = constante.

Exercices

Exercice 1 — Force de gravitation

Deux corps s’attirent par gravitation.

1. Écris l’expression de la valeur de la force de gravitation entre deux masses m et M distantes de d.
2. Que devient cette force si on double la distance d ?

Exercice 2 — Les lois de Kepler

1. Énonce la loi des orbites (1ʳᵉ loi de Kepler).
2. Énonce la loi des aires (2ᵉ loi de Kepler).

Exercice 3 — Loi des aires

Une planète décrit une orbite elliptique autour du Soleil.

1. En quel point de son orbite se déplace-t-elle le plus vite ?
2. Quelle loi de Kepler permet de l’expliquer ?

Exercice 4 — Mouvement d’un satellite

Un satellite décrit une orbite circulaire autour de la Terre.

1. Quelle est la seule force qui s’exerce sur lui ? Dans quelle direction est-elle dirigée ?
2. Le vecteur vitesse du satellite est-il dirigé vers la Terre ou tangent à l’orbite ?

Corrigés

Corrigé de l’exercice 1

1. F = G × (m × M) / d², où G est la constante de gravitation universelle.
2. Si la distance double, le dénominateur d² est multiplié par 4 : la force est donc divisée par 4.

Corrigé de l’exercice 2

1. Loi des orbites : chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l’un des foyers.
2. Loi des aires : le segment Soleil-planète balaie des aires égales pendant des durées égales.

Corrigé de l’exercice 3

1. La planète se déplace le plus vite lorsqu’elle est la plus proche du Soleil.
2. C’est la loi des aires (2ᵉ loi de Kepler) qui l’explique : pour balayer une aire égale en un temps égal alors qu’elle est proche du Soleil, la planète doit aller plus vite.

Corrigé de l’exercice 4

1. La seule force est la force de gravitation exercée par la Terre ; elle est dirigée vers le centre de la Terre.
2. Le vecteur vitesse est tangent à l’orbite (il n’est pas dirigé vers la Terre).